Gustavo0o: diciembre 2010

Las Ecuaciones De La Parabola

Ecuaciones de la parábola

Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.

Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax² donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».

Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio,^[2] y se bosquejará a continuación usando notación moderna.

Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versión analítica y PV al valor y). Considerando la sección circular que pasa por Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.

Por el teorema de potencia de un punto:

$QV^2 = HV\cdot VK$ .

Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así:

$\frac{HV}{PV} = \frac{HK}{KA} = \frac{BC}{AC}$ .

Usando nuevamente los paralelismos:

$\frac{VK}{PA} = \frac{HK}{HA} = \frac{BC}{BA}$ .

Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en

$QV^2=HV\cdot VK=\left(\frac{BC\cdot PV}{AC}\right)\left(\frac{BC\cdot PA}{BA}\right) = \left(\frac{BC^2\cdot PA}{BA\cdot AC}\right)PV$ .

Pero el valor de $\left(\frac{BC^2\cdot PA}{BA\cdot AC}\right)$ es una constante pues no depende de la posición de V, por lo que haciendo

$a = \frac{BA\cdot AC}{BC^2\cdot PA},$

arroja la expresión moderna y=ax².

Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una parábola vertical para cualquier posición de su vértice.

La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u,v) tiene la forma (y-v)=a(x-u)²,

agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente:

La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma $y = a x^2 + bx + c \,$ .

Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero intercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos:

La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma $x = a y^2 + by + c \,$ .

Ecuación involucrando la distancia focal

Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo vértice (variando el parámetro a) en la primera ecuación. Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe sólo una parábola que los tiene por vértice y foco ya que la directriz queda automáticamente fija como la perpendicular a la línea que une el foco con el vértice y a esa misma distancia del último.

Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (0,p). La directriz es por tanto, la recta horizontal que pasa por (0,-p). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es $\,x^2=4py$ .

De forma alterna:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es $y=\frac{x^2}{4p}$ .

Es de notar que el coeficiente 4p es precisamente la longitud del lado recto de la parábola.

Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales que se abren «hacia arriba». La ecuación de una parábola que se abre hacia abajo es similar excepto que varía un signo. En este caso, el foco sería (0,-p) y de esta forma:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,-p) es $\,x^2=-4py$ .

Cuando la parábola es horizontal «hacia la derecha», se obtiene una ecuación similar intercambiando los roles de x, y:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (p,0) es $\,y^2=4px$ ,

obteniendo mediante un cambio de signo la ecuación de las parábolas hacia la izquierda.

Finalmente, las ecuaciones cuando el vértice no está en el centro se obtienen mediante una traslación. En el caso común de la parábola vertical hacia arriba se tiene

La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h, k+p) es $\,(x-h)^2=4p(y-k)$ ,

mientras que para la parábola horizontal se intercambia x con y:.

La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h+p, k) es $\,(y-k)^2=4p(x-h)$ .

Ecuación general de una parábola

Hasta ahora se han descrito parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de coordenadas. De esta forma las fórmulas son funciones de x ó de y. Pero una parábola puede tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas ortogonales.

La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:

$\,a x^2 + b xy + c y^2 + d x + e y + f = 0$
si y sólo si
$\, b^2 - 4ac = 0$
y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos

Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el que la ecuación anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la forma

$\,a x'^2 + b x' + c = 0$ , donde a es distinto de cero.

Ecuación de una parábola vertical.

Parábolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c.

La Ecuacion de la Parabola con Vertice en el Origen

INTRODUCCION

Las parábolas aparecen en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Se puede apreciar claramente cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una pelota de tenis. En la curva que describe la pelota en su movimiento se puede ver que se trata de una trayectoria parabólica. Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal `x' la altura `y' alcanzada por la pelota.

Una vez situada la parábola en este marco, que es un sistema de coordenadas cartesianas, son visibles dos propiedades fundamentales: tiene un punto extremo, que corresponde al instante en el que la pelota alcanza la altura máxima. Este punto es el vértice de la parábola; y la segunda, en la que las alturas a las que llega la pelota son las mismas en posiciones horizontales equidistantes de la abcisa del vértice. Por tanto, la recta paralela al eje de ordenadas que pasa por el vértice es el eje de simetría de la parábola.

En terminos generales, se podría definir la parábola como la sección cónica -al igual que la elipse y la hipérbola- que se obtiene al cortar la superficie cónica con un plano paralelo a una generatriz. Es una curva que se construye por la relación que existe entre sus puntos, un punto fijo llamado foco -'F'- y una recta llamada directriz -'d'-. La recta que pasa por `F' y es perpendicular a la directriz es el eje de la parábola y su eje de simetría. El punto de corte de la parábola con su eje es el vértice.

La parábola es una de las curvas cónicas más utilizadas en la tecnología actual. Un ejemplo son las antenas parabólicas que sirven para captar las señales de televisión emitidas por un satélite. Con ella podemos ver emisoras de televisión de todas partes del mundo. Del mismo modo, la parábola también se emplea para fabricar los faros de los coches.

Ecuacion de la Parabola Con Vertice En El Origen

La ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el

y = 2px

Demostración:

Name=2

La condición para que el punto esté en la parábola es que ambas coincidan:

Name=3; HotwordStyle=BookDefault;

Elevando al cuadrado:

-px + y2 = px ð y2 = 2px

Hay otros tres casos elementales de parábolas:

Name=3; HotwordStyle=BookDefault;

ð Si el eje es horizontal y el foco está en el semieje negativo de abscisas, la ecuación es y2 = -2px.

ð Si el eje es vertical y el foco está en el semieje positivo de ordenadas, la ecuación es x2 = 2py.

ð Si el eje es vertical y el foco está en el semieje negativo de ordenadas, la ecuación es x2 = -2py.

2da Definicion y/o Representacion de La Ecuacion De La Parabola Con Vertice En El Origen.........

La parábola con vértice en el origen tiene una ecuación, llamada la ecuación canónica.
Si es concava hacia arriba es: x^2=4py
donde P es la distancia del vertice al foco. P es negativo si es concava hacia abajo, o hacia la izq
Si es concava hacia la derecha es: y^2=4px

Bueno, si el vertice se encuentro en cualquier otro lugar la formula es:
(x-h)^2=4p(y-k) en el caso de que sea concava hacia arriba. Donde (h.k) son las coordenadas del vertice. Aqui el foco es (h, k+p)

Y es: (y-k)^2=4p(x-h) cuando la parabola es concava hacia la derecha. Aqui el foco es (h+p,k)

La ecuación general de la parabola es
cy^2+dx+ey+f=0

Ecuaciones de la Circunferencia

Ecuaciones de la circunferencia

-La circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro. Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia.

Ecuación de una circunferencia

Representación del radio de una circunferencia

Una circunferencia de centro C(a, b) y radio r, está formada por todos los puntos P(x, y) cuya distancia al centro es r:

d ( C , P ) = d ( ( a , b ) , ( x , y ) ) = r → ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r

Elevando al cuadrado esta ecuación obtenemos la ecuación reducida de la circunferencia:

( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2

La ecuación general de la circunferencia es: x² + y² + Cx + Dy + E = 0.

Esta ecuación se obtiene desarrollando los cuadrados en la ecuación reducida y agrupando todos los términos en el primer miembro.

x 2 + y 2 - 2 a x - 2 b y + ( a 2 + b 2 - r 2 ) = 0 , siendo { C = - 2 a D = - 2 b E = a 2 + b 2 - r 2

La ecuacion de la circunferencia con centro en el origen

una circunferencia que tiene su centro en el origen de cordenadas tiene una ecuacion:

x^2 + y^2 = r^2

donde x^2 + y^2 es el cuadrado del radio.

una con centro (a,b) es:

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

x^2 + a^2 - 2ax + y^2 + b^2 -2by = r^2

luego x^2 y y^2 siempre tienen un 1 delante (su coeficiente)

x^2 + y^2 + (-2a)x + (-2b)y + (a^2 + b^2 -r^2) = 0

vemos que hay tres numeros que faltan, y como -2a y -2b y el otro son numeros cualesquiera, todas las ecuaciones de la forma:

** x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0

describen siempre una circunferencia

En esta forma es relativamente facil hallar A B C mediante un grupo de ecuaciones

lineales:

el punto (-2,-3) es como el par de ecuaciones x=-2 y=-3

sustituimos en **:

4 + 9 -2A -3B + C = 0

<==> 13 = 2A + 3B - C

para (3,2):

9 + 4 +3A +2B + C = 0

<==> 3A + 2B + C = -13

para (6,1):

36 + 1 + 6A + B + C = 0

<==> 6A + B + C = -37

2A + 3B - C = 13
3A + 2B + C = -13
6A + B + C = -37

siempre lo mejor es resolver por reducion:

2 3 -1 13
3 2 1 -13
6 1 1 -37

multiplico la 2ª por 2:

2 3 -1 13
6 4 2 -26
6 1 1 -37

ahora les resto 3 veces la 1ª a la segunda y tercera:

2 3 -1 13
6 4 2 -26
6 1 1 -37

2 3 -1 13
0 -5 5 -65
0 -8 4 -76

multiplico la tercera po 5:

2 3 -1 13
0 -5 5 -65
0 -40 20 -380

le sumo 8 por la 2ª:

2 3 -1 13
0 -5 5 -65
0 0 60 -900

ya esta lo dificil que era sacar C = -900/60 = -15

-5B + -45 = -65

-5B = -110 => B = 22

y ahora A:

2A + 3*22 -1*(-15) = 13

2A + 3*22 + 15 = 13

2A = 13-81 = -(81-13)= -68 =>
A = -34

luego:
A = -34
B = 22
C = -15

jueves, 9 de diciembre de 2010